首先是背景：

“超几何分布适用于从有限总体中进行无替换抽样，其元素可以分为两个相互排斥的类别，例如通过/失败”（维基百科）

话虽如此，如果您的样本量非常大，即使没有替换，您的结果也可能接近二项分布。

小群体的样本量计算公式：

超几何分布

𝑛 = (𝑁𝑧^2 𝑝𝑞) / ((𝐸^2 (𝑁−1)+𝑧^2 𝑝𝑞))

在哪里：

• n = 最小样本量
• N = 人口规模
• z = 置信水平 (zα/2)
• p = 人口中事件的比例
• q = 人口中非事件的比例
• E = 样本比例的准确性

简单的二项分布（包括用于比较）

𝑛=(𝑍^2 𝑝𝑞)/𝐸^2

有用的链接和资源：

我目前的声誉使我无法发布超过 2 个链接，因此如果对您有帮助，请投票给这个答案：
公式和示例：里贾纳大学
在线计算器
Google 有这本书：“Six sigma and beyond”
有用“stattrek.com”上的示例
Wolfram Alpha
digitheadslabnotebook.blogspot.com

使用 Stan 在回答他自己的问题时提供的公式并插入值$N$,$p$和$q$在问题中，即

人口：$N = 1,000,000$

白色大理石的比例：$p = 0.001$

黑色弹珠比例：$q = 1 - p$

并假设精度

$E = 0.05$

我们最终得到

$$n = \frac{1,000,000 \cdot z_{1-\alpha / 2}^2 \cdot 0.000999}{2499.998 + z_{1-\alpha / 2}^2 \cdot 0.000999}$$

这里我们需要澄清一下：

$z$不是置信水平，但通常解释为$(1-\alpha/2)$标准正态分布的分位数。

置信水平为$1-\alpha$.

的典型值$\alpha$分别为 0.01、0.05 和 0.1，并设置为控制假设检验中错误类型 1 的概率。维基百科

使用$(1-\alpha/2)$quantile 意味着我们要进行双边假设检验（否则我们将不得不使用$(1-\alpha)$分位数）。

回到例子：

让我们使用$\alpha = 0.01$，即 99% 的置信水平。现在我们得到样本量的结果$n$：

$$\begin{align} n &= \frac{1,000,000 \cdot 2.58^2 \cdot 0.000999}{2499.998 + 2.58^2 \cdot 0.000999}\\ &= 2.6513 \end{align}$$

结果讨论：

显然，从瓮中取出 2.6513 颗弹珠是不切实际的。因此，绘制 2 或 3 个弹珠是可供选择的选项。

两者都不会很令人满意...

想象一下，我们选择绘制 3 个弹珠。绘制 0、1、2 甚至 3 个白色大理石的概率是多少？

$P(0) = 0.997003$

$P(1) = 0.002994009$

$P(2) \approx 0$

$P(3) \approx 0$

关于假设检验$H_0: p_0 = 0.001$我们很好，因为拒绝真实假设的机会最多为 1%（根据设置的要求$\alpha = 0.01$）。

警告：

如果这不仅仅是关于假设检验，而且是关于估计总体中白色大理石的比例，您不会希望仅基于 3 个样本量来执行此操作，因为您的估计将被设计限制为 0% 的值， 33.3%、66.% 或 100%。指定精度为 0.05（即 5 个百分点）时，这与您的想法不太一样。