机器算法验证 - 生存分析中“死亡率”的定义是什么？ - 吾爱随笔录

生存分析中“死亡率”的定义是什么？

机器算法验证生存冒险

2022-03-28 04:04:38

我正在阅读一篇关于生存分析的文章（Smith 的 2002 Analysis of Failure and Survival Data）。所有概念，如风险函数、生存函数、生存变量密度 $Y$ 是严格定义的。然而，在一个练习（第 14 页）中，它说“假设吸烟者在每个年龄的死亡率是不吸烟者的两倍。如果 $h_s(y)$ 表示吸烟者在年龄时的危险率 $y$ 和 $h_n(y)$ 年龄不吸烟的人 $y$ ，写出一个相关的方程 $h_s(y)$ 和 $h_n(y)$ ”。

这让我不明白作者所说的死亡率是什么意思（据我所知，它还没有被定义）。也许他的意思是生存函数的导数或类似的东西。

这个想法可能得到谷歌搜索的支持，我在其中找到了定义

λ = \frac{D}{T}

$\lambda = \frac{D}{T}$

在哪里 $D$ 时间间隔内的死亡人数 $T$ . 因此，在概率方面，我会得出一个有用的定义可能是

λ = \frac{F (Y + t) - F (Y)}{t}

$\lambda = \frac{F(Y+t) - F(Y) }{t}$

在哪里 $F(Y)$ 累积分布函数。此外，如果我让

lim_{t \to 0} \frac{F (Y + t) - F (Y)}{t} = f (y) = - S^{'} (Y)

$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{F(Y+t) - F(Y) }{t} = f(y)=-S'(Y)$

在哪里 $f$ 密度和 $S$ 生存函数。

这个逻辑在某处是形式化的还是约定俗成的？

2个回答

费率有一个特定的定义 $\frac{\# \mbox{events}}{\# \mbox{person-years}}$ . 另一方面，风险是指特定个人经历感兴趣的结果的风险，它是与危险本质上相关的风险（瞬时风险）。问题使用的语言与这种理解是一致的。如果我不得不改变它，我会说，“吸烟者的死亡率是*非吸烟者的两倍”。他们也没有提及这些是否是年龄调整率。

为了更深入地理解这一点，使用根本不同的模型来估计相对利率和相对风险。

如果您想正式确定费率，您可以将其视为估算：

E (\frac{# events}{# person-years}) = \frac{\sum_{i} P r (Y_{i} < t_{i})}{\sum_{i} t_{i}}

$E \left( \frac{\# \mbox{events}}{\# \mbox{person-years}} \right) =\frac{\sum_i Pr(Y_i < t_i)} {\sum_i t_i}$

( $Y_i$ 是死亡时间和 $t_i$ 是观察时间 $i$ -个人，注意时间被认为是固定的而不是随机的！）

您会认识到分子是一堆 CDF，或 1-生存函数，并且与生存函数和危害的关系是众所周知的。

因此，如果您采用比率比率：

2 = E (\frac{# smoker deaths \times # non-smoker person-years}{# n o n - s m o k e r d e a t h s \times # smoker person years}) = \frac{\sum_{i} t_{i}}{\sum_{j} t_{j}} \frac{\sum_{j} P r (Y_{j} < t_{j})}{\sum_{i} P r (Y_{i} < t_{i})}

$2 = E \left( \frac{ \# \mbox{smoker deaths} \times \# \mbox{non-smoker person-years}}{\# {non-smoker deaths} \times \# \mbox{smoker person years}} \right) = \frac{\sum_i t_i}{\sum_j t_j} \frac{\sum_j Pr(Y_j < t_j)}{\sum_i Pr(Y_i < t_i)}$

= \frac{\sum_{i} t_{i}}{\sum_{j} t_{j}} \frac{n_{j} - \sum_{j} S (t_{j})}{n_{i} - \sum_{i} S (t_{i})}

$= \frac{\sum_i t_i}{\sum_j t_j} \frac{ n_j-\sum_jS(t_j)}{n_i-\sum_iS(t_i)}$

因为它是自学，你可能应该做代数并解决方程的其余部分！

“死亡率”本质上是指危险率。死亡率通常报告为每年每 100,000 名受试者的死亡人数，这使得死亡率与危险率成正比，因此它们不一定完全相同。

关于这本书，正如您所说，问题的“i”部分很容易。使用他们要求您在问题的“ii”部分证明的内容，我们实际上可以证明比例风险意味着比例死亡率，以防您不想盲目相信我的话。你不应该这样做。

“ii”部分说“使用危险率之间的关系，表明吸烟者的生存概率是非吸烟者生存概率的平方”（释义）。

这告诉我们

$S_s(t) = S_{ns}(t)^2$

由于危险率与生存曲线有关

$S(t) = e^{-\int h(t)}$

这意味着

$e^{-\int h_s(t)}$ = $(e^{-\int h_{ns}(t)})^2$

进一步暗示

$e^{-\int h_s(t)}$ = $(e^{-2\int h_{ns}(t)})$

最后留给我们 $h_s(t) = 2 h_{ns}(t)$ （提供了一些关于风险函数平滑度的假设）。

自从 $h_s(t) = 2 h_{ns}(t)$ ，请注意，这与“死亡率”描述的关系完全相同。从技术上讲，这并不能证明“死亡率”与危险率相同，但它暗示如果死亡率成比例（无论它们是什么），那么危险率也是成比例的。

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