当标准偏差为零时，您的高斯（正常）PDF 变为狄拉克三角函数。您不能简单地将零标准偏差插入常规表达式。例如，如果将 PDF 插入某种数值积分，这将不起作用。您必须修改积分。在下面的示例中，我们计算函数的平均值$g(x)$使用高斯密度$f(x|\mu,\sigma^2)$：

$$\int g(x)f(x|\mu,\sigma^2)dx$$

当您插入零方差时，这将成为增量函数：

$$\int g(x)f(x|\mu,0)dx=\int g(x)\delta(x-\mu)dx=g(\mu)$$

您的代码必须能够识别这一点，否则它将失败。

解决这个问题的一种方法非常简单：插入一个非常小的值$\sigma$变成高斯而不是零。你必须选择正确的$\sigma$对于你的情况。如果它太小，那么它会炸毁你的指数，积分将不起作用或精度会降低。这涉及到已知的 delta 函数的高斯近似：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0}\mathcal N(0,\sigma)$$

这是霍格和克雷格在统计学教科书中的一个问题！作者给出了一个提示：查看法线的矩生成函数并插入 sigma = 0。

所以在回答之前，让我们记住为什么会这样——矩生成函数是独一无二的。

法线的矩生成函数，N(a,b^2), M(t|a,b^2) =

exp(at + t^2 * b^2 /2)

设置 b=0，我们有

M(t|a,B^2) = exp (at)

这是矩生成函数

f(x) = a。（我不会将其称为 Dirac Delta 函数，而是将其称为常数。请注意，Dirac Delta 函数在技术上并不是 PDF。）

这个结果应该不足为奇。随着方差的减小，概率越来越接近均值，因此极限分布是函数等于均值。

当然这可以直接证明；我们可以查看一系列函数 fn(x) = N(a,b^2/n)，我们看到随着 n 接近无穷大，该序列的方差接近 0。看到它以概率收敛到常数很容易；你可以证明它几乎肯定会收敛，但这需要更多的工作。

但这不是确切的问题——可以按照霍格和克雷格的建议来回答！