维基百科给出的方程（通常）将累积量与矩联系起来。

在A Recursive Formulation of the Old Problem of Get Moments from Cumulants and Vice Versa中找到了将累积量与中心矩联系起来的公式的证明

令为累积量生成函数，为矩生成函数。两者之间的关系为 证明通过对这个表达式进行微分并注意到第个导数可以写成 其中表示第个导数。现在设置： $K(t)$$M(t)$

$$\begin{equation} M(t)=\exp{\left[K(t)\right]} \end{equation}$$ $n$ $$\begin{equation} D^n[M(t)]=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}D^{n-i}[K(t)]D^i[M(t)] \end{equation}$$ $D^k$$k$$t=0$ $$\begin{equation} \theta_n=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\kappa_{n-i}\theta_i\\ \theta_n=\kappa_n+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i}\kappa_{n-i}\theta_i\\ \end{equation}$$ 重写产生： In中心矩和累积量的术语。 $$\begin{equation} \kappa_n = \theta_n-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i}\kappa_{n-i}\theta_i \end{equation}$$

Itronneberg 提到的论文和引用的公式仍然指的是“原始”（非中心，“在原点”）时刻。为了验证这一点，取 n=3：你得到。（编辑：根据 Gâteau-Gallois 的评论修复）因此，清楚地表示原始矩：累积量和中心矩应该在时重合。$\kappa_3 = \theta_3 - \kappa_1\theta_2$$\theta_n$$n=3$

事实上，引用的论文没有提到中心时刻。

然而，另一篇论文（也提到了前一篇论文）确实：中心矩和累积量之间的关系，以及伽马分布中心矩的公式。它提供了以下公式（方程（2.2））：

$$\kappa_r = \mu_r - \sum_{j=1}^{r-2} {r-1 \choose j} \mu_j \kappa_{r-j} \qquad r \geq 2.$$

事实上，如果你设置，你会得到总和是空的，并且。$r=2$$\kappa_2 = \mu_2$