它们彼此密切相关。对于使得我们有$n \rightarrow \infty,\ p \rightarrow 0$$np \rightarrow \lambda\ $

$$P_{Bin(n,p)}(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \eqsim \frac{\lambda^k}{k!}\exp^{-\lambda} = P_{Poiss(\lambda)}(k)$$

所以泊松分布是一个限制二项分布，是某个事件发生的平均速率（即$\lambda$$np$

人们可以通过限制从二项式得到泊松，通过条件化从泊松得到二项式。更准确地说，我们有以下内容。

• 如果 ,是独立的随机变量，那么给定的 X 的分布是$X\sim\text{Pois}(\lambda_1)$$Y\sim\text{Pois}(\lambda_2)$$X$$X+Y=n$$X_{\text{cond}}\sim\text{Bin}(n,\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))$
• 如果，如果，使得，那么$X\sim\text{Bin}(n,p)$$n\to\infty$$p\to 0$$np\to\lambda$$\mathbb{P}(X=k)\to\mathrm{e}^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$