对于连续实值分布$P(X = c)=0$， 在哪里$c$是一些实值常数。因此，对于连续分布，我们倾向于谈论事件的概率，它们是值的范围，例如$P(X \ge c)$涵盖范围从$c$至$\infty$， 或者$P(X\leq c)$涵盖范围从$-\infty$至$c$，而不是特定的单数。

所以 'as 或者更极端$c$'是另一种说法'$\leq c$或者$\ge c$'，或（在双尾的情况下）测试'$\leq -c$或者$\ge c$'（因为极值可以在零假设的 0 值的任一方向上）。

假设你有正常的数据，想知道它们是否与$H_0: \mu = 50$或者是否拒绝$H_0$有利于 $H_a: \mu > 50.$x大小样本$n = 20$有意思$\bar X = 51.25,$ 和标准差$S = 2.954.$

所以样本均值大于$50.$问题是它是否 足够大于$50$在统计意义上说它明显大于 50，因此$H_0$应该在 5% 的水平上被拒绝。

sort(x)
 [1] 47 47 48 49 49 49 50 50 50 50
[11] 51 51 52 53 53 54 54 54 56 58
mean(x); sd(x)  
[1] 51.25
[1] 2.953588

在下图中，值为$\bar X$显示为垂直虚线。

stripchart(x, meth="stack", pch=19)
 abline(v = 50, col="green2")
 abline(v = mean(x), col="blue", lwd=2, lty="dotted")

在测试中，测试统计量$T = \frac{\bar X-50}{S/\sqrt{n}} = 1.89$ 考虑到数据的可变性。临界值$c = 1.729$ 的 t 检验从 DF = 19 自由度的学生 t 分布的上尾削减概率 5%。我们拒绝$H_0$在 5% 的显着性水平，如果$T \ge c = 1.729.$所以我们确实拒绝$H_0.$

qt(.95, 19)
[1] 1.729133

在 R 中，一个正式的 t 检验$H_0$反对$H_a$给出以下输出。

t.test(x, mu = 50, alt="g")

        One Sample t-test

data:  x
t = 1.8927, df = 19, p-value = 0.03687
alternative hypothesis: true mean is greater than 50
95 percent confidence interval:
 50.10801      Inf
sample estimates:
mean of x 
    51.25 

请注意，没有提到临界值$c.$相反，我们有 P 值$0.037.$这是 t 统计量超过观察值的概率$T = 1.8927.$

1 - pt(1.8927, 19)
[1] 0.03686703

下图中垂直红线为5%临界值$c;$这条线右边的密度曲线下的面积是$0.05.$黑色虚线表示 t 统计量的值；这条线右边的密度曲线下的面积就是P值。

图的R代码：

curve(dt(x, 19), -3.5, 3.5, ylab="PDF", xlab="t", 
       main="Density of T(19)")
 abline(h = 0, col="green2")
 abline(v = 0, col="green2")
 abline(v = 1.729, col="red")
 abline(v = 1.8927, lty="dotted", lwd=2)

以下是关于使用 P 值而不是临界值的一些评论：

• 根据比观察值更极端或更极端的值来计算 P 值是有意义的。如果你愿意拒绝$H_0$为了 $\bar X = 51.25$（t 统计 1.8927），那么您肯定也会拒绝更极端的值，例如$\bar X = 53.11.$

• 如果$T \ge c,$5% 临界值，则 P 值小于 5%。因此，使用 P 值来决定是否拒绝与使用临界值一样容易。

• 如果有人想在 4% 的水平而不是 5% 的水平上进行测试，那么结果就是拒绝，因为 P 值也小于 4%。相比之下，如果有人想在 1% 的水平上进行测试，那么$H_0$不会因为 P 值超过 1% 而被拒绝。（请注意，没有必要“告诉”软件您想到的显着性水平；P 值可以使用任何所需的显着性水平。）

• 对于通常的显着性水平，例如 10%、5%、2%、1%、0.1%，您可以从大多数打印的 t 分布表中获得匹配的临界值。但是，通常无法从打印的表格中获得准确的 P 值。P 值是“计算机时代”值。

• 我的例子是一种片面的选择。如果您使用的是双边替代方案，那么您必须考虑在任一方向上出现更极端值的概率。通常，对于双边测试，P 值会加倍。

注意：我的示例中的假数据是使用 R 采样的，如下所示：

set.seed(316)
x = round(rnorm(20, 52, 3))