定义。根据对称性， 因此，使用和条件期望的线性，我们有 同理导致 现在，记住$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$

$$\mathrm{E}\left[ X_1 \mid S_n \right] = \mathrm{E}\left[ X_2 \mid S_n \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ X_n \mid S_n \right] \quad \textrm{a.s.} \quad (*)$$ $(*)$ $$\mathrm{E}\left[ X_1 \mid S_n \right] = \frac{1}{n} \mathrm{E}\left[ X_1+\dots+X_n \mid S_n \right] = \frac{1}{n} \mathrm{E}\left[ S_n \mid S_n \right] = \frac{S_n}{n} \quad \textrm{a.s.}$$ $$\mathrm{E}\left[ X_1 +X_2 +3X_3\mid S_n \right] = 5\,\mathrm{E}\left[ X_1 \mid S_n \right] = \frac{5\,S_n}{n} \quad \textrm{a.s.}$$ $S_n\sim \mathrm{Poisson}(n\theta)$，并找到的 pmf （考虑它的支持）。$5\,S_n/n$

OP显然已经找到了方法，所以我发布了一个答案。

我将表示。通过期望值的线性，我们有 $Z \equiv \sum_{i=1}^n X_i$

$$E \left( X_1+X_2+3X_3 |Z \right)= E \left( X_1 |Z \right)+E \left( X_2 |Z \right)+3E \left(X_3 |Z \right)$$

由于变量是独立同分布的，它们也是可交换的，至少相对于$Z$（它们具有对称关系），所以三个条件期望值将相等：

$$E \left( X_1+X_2+3X_3 |Z \right)= 5E \left( X_1 |Z \right)$$

此外，已知的结果是，以的条件分布是二项式，$X_1$$Z=k$

$$X_1 | Z=k \sim Bin\left(k, \frac {E(X_1)}{E(Z)}\right) = Bin\left(k, 1/n\right)$$

所以

$$5E \left( X_1 |Z=k \right) = 5\frac kn$$

我们的条件期望被视为的函数，而不仅仅以获得特定值为条件。推广我们得到的最后一个方程$Z$$Z$

$$5E \left( X_1 |Z \right) = \frac 5n Z= 5 \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$$

注意

$$E \left( X_1 |Z \right) \rightarrow_p E(X_1) \;\;\text {as}\;\; n\rightarrow \infty$$

这应该是直观的。