最近我正在阅读一篇论文，其中作者使用 GAM 进行预测。简而言之，数据如下所示：

  y    i    j     x    weekend
5.6    1    1   4.6    Mon.
6.5    1    2   5.6    Mon.
...
4.6    2    1   6.7    Sta.
2.4    2    2   1.2    Sta.
...

其中y, x1,x2是连续数字，weekend是星期几。在论文中，作者使用以下公式：

$$y_{ij} = \beta_0 + b_{0i} + \beta_1{\rm weekend}_i + f_1(x_{ij}, {\rm weekend}_i) + \varepsilon_{ij}$$

在公式，$\beta_0$是整体平均值，$b_{0i}$是随机截距，${\rm weekend}_i$确定是工作日还是周末。Ans 所以我改造${\rm weekend}$从 {Mon., Thu., .., Sun.} 到 {0, 1}。和$f_1$是具有 17 个样条结的三次回归函数，实际上会生成两个平滑函数，一个用于工作日，另一个用于周末。

我想使用以下代码：

gam(y~ s(i,bs="re") + weekend + s(x, by=weekend, bs="cr", k=17))

但我不确定它是否符合公式。我的问题是：

1. gam会自动生成模型的均值，所以不需要指定$\beta_0$在代码中？
2. 是不是通过使用s(i,bs="re")，gam将计算不同的随机效应与分布$N(0, \delta_i)$对于每个$i$具体来说？
3. 周末改成0-1值好不好？在代码s(x, by=weekend, bs="cr", k=17)中，by关键字是否意味着它将x为不同的weekend值生成不同的平滑函数？
4. 最后一个问题是，如果没有指定knots=list()，如上面的代码，模型的默认行为是将结点均匀放置在值的范围内吗？