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辅助统计：Beta分布无ββ?

机器算法验证自习数理统计伽马分布贝塔分布辅助统计

2022-04-03 03:23:15

我正在阅读 Robert V. Hogg 数理统计导论第 6 版第 409 页，第二段。

$X_1, X_2$ 是来自 Gamma 的随机样本 $\text{G}(\alpha,\beta)$ 已知参数的分布 $\alpha>0$ 和未知参数 $\beta$ . 比例
$Z = \frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2}}$ $Z=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}$ 有一个 Beta $\text{B}(\alpha,\alpha)$ 分发是免费的 $\theta$ . 所以 $Z$ 是辅助统计量。

我的问题是：why $Z$ is free of $\beta$?

在 p155 书中，作者展示了 $Z$ 是

f (z) = \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} z^{α - 1} (1 - z)^{β - 1}, 0 < z < 1

$f(z)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}z^{\alpha-1}(1-z)^{\beta-1},\quad 0<z<1$ 或者你可以参考这个。这是 Beta 版的 pdf

B (α, β)

$\text{B}(\alpha,\beta)$ 分布，但

β

$\beta$ 或者

θ

$\theta$ 还在，为什么

Z

$Z$ 没有

β

$\beta$ 然后？。

1个回答

给出的pdf有错字 $Z$ 或者您对 Beta 的一般定义感到困惑 $\text{B}(\alpha,\beta)$ 因为它应该是一个 Beta $\text{B}(\alpha,\alpha)$ 分配。例如，您的链接显示了为什么两个 Gamma 的比率 $\text{G}(\alpha_i,\beta)$ 变量是一个 Beta $\text{B}(\alpha_1,\alpha_2)$ 变量。（此参考可能会令人困惑，因为它使用 $\alpha$ 和 $\beta$ 与标准方式相反： $\alpha$ 是那里的规模！）

之所以 $Z$ 不依赖于 $\beta$ 那是，当

X_{1}, X_{2} \sim G (α, β)

$X_1,X_2\sim\text{G}(\alpha,\beta)$ 然后

Y_{1} = β X_{1}, Y_{2} = β X_{2} \sim G (α, 1)

$Y_1=\beta X_1,Y_2=\beta X_2\sim\text{G}(\alpha,1)$ 自从

β

$\beta$ 是比例因子。所以

Z = \frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2}} = \frac{β X_{1}}{β X_{1} + β X_{2}} = \frac{Y_{1}}{Y_{1} + Y_{2}}

$Z=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}=\dfrac{\beta X_1}{\beta X_1+\beta X_2}=\dfrac{Y_1}{Y_1+Y_2}$ 不依赖于

β

$\beta$ .

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