在我看来，我习惯了一个基本相同但更具说明性的例子。

让$x_1,...x_l$在单位内独立且均匀分布$n$-球以原点为中心。然后可以显示（我现在不写推导，如果您感兴趣，请告诉我）这些点到原点的最大欧几里得距离的中位数$m=\text{med}\max_l(\rho(x_1,0),...,\rho(x_l,0))$是

$$m=\left[1-2^{-1/l}\right]^{1/n}$$ 明显地，$m\to_{n\to\infty}1$.

现在，对于维度灾难的一些直觉，假设我们想使用$kNN$分类器（为简单起见，即使使用$k=1$）。这个公式给我们的是，当特征空间的维度变得足够大时，通常我们的训练样本的点将“几乎肯定”（不完全是测量理论意义上的）将几乎位于我们单位的边界上球，因此，与我们的点有几乎相同的欧几里得距离，使得到兴趣点的距离比较实际上是无用的。

这就是我喜欢这样思考标语“在高维空间中，几乎所有点之间的距离几乎相等”。希望这种直觉能让你满意。

编辑 公式证明：

1）让$r(x)=\rho(x, 0)$. 那么分布函数为$r$是（谁）给的

$$F_r(t)=P(\rho(x, 0)<t)=\frac{V_n(t)}{V_n(1)}=t^n,$$ 在哪里$V_n(t)$是一个半径为 N 维的球的体积$t$.

2）让$M(X)=\max (r(x_1),...,r(x_l))$. 然后是分布$M$是

$$F_M(t)=P(M<t)=1-P(M\geq{t})=1-(1-F_r(t))^l=1-(1-t^n)^l.$$

3) 现在，定义$m$是$F_M(m)=1/2$. 简单的算术现在给出了要求。

欧几里得距离有一个方面是不舒服的，因为距离往往会随着维度的增加而增加：当第一对的维度与第二对的维度不同时，比较两对点之间的距离。

假设有两个点$x$和$y$在$\mathbb{R}^n$你想计算它们之间的距离。假设一开始只向您显示第一个坐标，观察到的距离是$d_1=\sqrt{(x_1-y_1)^2}$. 之后，另一个坐标显露出来，观察到的距离变为$d_2=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$. 机会是$d_2>d_1$即使这两点$x$和$y$在两种情况下都是相同的。这意味着您无法比较不同维度的距离（但当维度固定时，您仍然可以有意义地比较不同点之间的距离）。

以坐标距离的平均值为例（$d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$) 可能是一种补救措施。