IQR 和标准偏差都与比例因子成正比，因此比较两者的正确方法是使用它们的比率。

SD:IQR 的上限

带有 PDF 的 Cauchy 分布

有无限的 SD 和四分位数$\pm\sigma$. 从中我们可以通过左右截断来创建具有任意大 SD 的分布，同时（通过调整$\sigma$) 我们可以单独使 IQR 任意短。因此，对于任何给定的 IQR，SD 没有上限，而对于任何给定的 SD，IQR 也没有下限。

SD:IQR 的下限

对于任何给定的 IQR，我们可以通过两种方式减少 SD：（1）通过将中间 50% 的值移向四分位数的中点；（2）通过将外部 50% 的值移向四分位数. 固定 IQR 的 SD 下限是通过具有以下特征的（离散）分布族实现的$25 + \varepsilon$% 概率$-1$和$1$和$50 - 2\varepsilon$% 概率$0$($0 \lt \varepsilon \lt 25$); 这个家庭的成员有四分位数在$\pm 1$--其中的IQR$2$和标准差$(50 + 2\varepsilon)/100$; 因此，SD 与 IQR 的（下）限制比率为$1/4$.

（请注意，这个家庭的任何成员都没有违反切比雪夫的不等式，前提是在其声明中注意：$100$概率百分比严格位于平均值的 2 个标准差以内 ($0$) 在每种情况下，在每种情况下，四分位数的位置都没有歧义。但是，在限制为$\varepsilon \to 0$, SD 与 IQR 的比率接近$1/4$. 解释不正确，这似乎意味着$50$百分比的概率超出$2$均值的标准差，而切比雪夫不等式断言不超过$25$百分比的概率可以超出$2$平均值的标准差。然而，极限分布的四分位数位置与$\varepsilon=0$模棱两可：较低的可能介于两者之间$-1$和$0$和鞋面之间的任何地方$0$和$1$并且没有一个概率是严格超出的$2$平均值的标准差。）

概括

因为足够大的有限样本的经验分布可以任意接近任何给定的分布，所以对于数据的理论分布和经验分布的结论是：

这些是可能的最佳界限。