机器算法验证 - 骰子的卡方分布不返回预期值？ - 吾爱随笔录

骰子的卡方分布不返回预期值？

机器算法验证假设检验卡方检验擅长骰子卡方分布

2022-04-07 23:00:33

我正在尝试验证我的骰子是否相当公平和平衡。不过，我不确定我做得对，因为我基本上是在没有参考资料的情况下自学统计数据。为了实现这一点，我选择了卡方检验。这就是我正在做的事情：

我有一个样本大小的卷。在一个 dC 上，其中是边数，每个滚动 1 到的预期频率是。然后我计算到值。然后，我计算自由度等于的卡方分布（在 Excel 中使用）。 $N$ $C$ $C$ $\frac{N}{C}$ $\chi^{2}$ $1$ $C$ CHIDIST $C-1$

这是一个示例案例：

取一个 d4，并假设每个面都被平均滚动了 1500 次。
计算这个的卡方值，每张脸和预期频率为 1500
chidist使用和 3 作为自由度计算卡方分布

问题是，这会返回无意义的值。例如，在 d4 上，如果我输入 6000 个均匀分布的卷，则chidist返回.801252. 无论我赚多高，即使分布均匀，我也不会低于。我知道我在这里做错了什么，但我不确定它是什么。 $N$ .801252

卡方分布值应该落在任何类型的显着性范围内。有什么帮助吗？

编辑：根据请求，我发布了我的 Excel 布局的屏幕截图并列出了使用的公式。我隐藏了不相关的行。

在此处输入图像描述

使用的公式：

C2:C5 = B22/4（频率）
B22 = SUM(B2:B5)（和）
（StDev 和 StdErr 不相关）
B25 = CHITEST(B2:B5, B91:B94)（卡方）
B26 = CHIDIST(B25, B1-1)（智分布）

以下是一些原始数据：

   4  -  6
1| 56    36
2| 45    33
3| 57    33
4| 42    40
5|       29
6|       29

1个回答

卡方统计量越远离预期条目越大。p 值变小。非常小的 p 值表示“如果等概率的原假设为真，那么真的不太可能发生”（通常的结论是，在它们不是同样概率的情况下发生了不太显着的事情）。

细胞计数的正确卡方值为 1500 1500 1500 15000，正确的 p 值为 1：

 chisq.test(c(1500,1500,1500,1500))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(1500, 1500, 1500, 1500)
X-squared = 0, df = 3, p-value = 1

您的卡方统计公式是错误的。您发布的其中一张图片有1500 1500 0 1500. 在这种情况下，卡方值为 1500，p 值实际上为 0：

 chisq.test(c(1500,1500,0,1500))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(1500, 1500, 0, 1500)
X-squared = 1500, df = 3, p-value < 2.2e-16

因此，当你应该得到 0 时，你计算了一个 1 的卡方，当你应该得到 1500 时计算了 0。

你用的是什么公式？

（额外检查 - 这四个更典型的计数

   1    2    3    4 
1481 1542 1450 1527

你应该得到一个 3.5693 的卡方）

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关于使用卡方检验来测试骰子的公平性，请参阅此问题

我在那里给出了一个答案，指出 - 如果你真的想测试骰子 - 你可能会考虑其他测试。

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正如您在回复中指出的那样，CHITESTExcel 中的函数返回 p 值而不是测试统计量（这对我来说似乎有点奇怪，因为您可以使用得到它CHIDIST）。

在所有期望值都相同的情况下，快速获取卡方值本身=SUMXMY2(obs.range,exp.range)/exp.range.1的obs.range方法exp.range是exp.range.1使用（或实际上任何其他）值exp.range，给出如下内容：

    1       2       3       4
Exp 1500    1500    1500    1500
Obs 1481    1542    1450    1527

    chi-sq. p-value     
    3.5693  0.31188

一个稍微笨重但更简单的替代方法是使用CHIINV(p.value,3), 来获得卡方统计量，其中p.value是的返回值的范围CHITEST。

编辑：这是您发布的两组数据的几个图。

灰色实线是每个面出现在公平骰子上的预期次数。

如果骰子是公平的，那么内部的一对虚线是大约 95% 的时间应该在这个范围内的个人面结果。（因此，如果您掷出 d20，您会期望一张面上的计数 - 平均而言 - 超出内部限制。）

外面的一对虚线是近似的 Bonferroni 限制，如果骰子是公平的，那么所有面的结果将在大约 95% 的时间范围内。如果任何计数超出这些范围，您就有理由怀疑骰子可能有偏差。

d4 结果图，有界 d6 结果图，有界

编辑以添加一些解释-

基本情节只是计数的情节。对于具有面的骰子，给定面出现的次数（单个计数）有效地分布为二项式。如果零假设（公平骰子）为真，则为二项式。 $k$ $(N,1/k)$

二项式的平均值和标准差。 $(N,p)$ $\mu=Np$ $\sigma=\sqrt{Np(1-p)}$

因此，中央灰线标记为。你已经知道该怎么做了。 $\mu=N/k$

如果很大并且不太接近 0 或 1，则标准化的计数 ( ) 将很好地近似按标准正态分布。大约 95% 的正态分布位于平均值的 2 个标准差以内。处绘制了内部虚线。这些计数不是相互独立的（因为它们添加到滚动总数中，它们必须是负相关的），但它们分别具有大约 95% 水平的限制。 $N$ $p = 1/k$ $i^\text{th}$ $\frac{(X_i-\mu)}{\sigma}$ $\mu \pm 2\sigma$

请参阅此处，但我使用而不是 - 这没什么影响，因为我不在乎它是否是 95.4% 间隔而不是 95%，而且它只是近似值。 $z=2$ $z=1.96$

所以这给出了虚线。

相应地，如果投掷次数都是独立的（正如我所提到的，它们并不完全独立），那么它们都位于某个范围内的概率是一个概率的幂。粗略估计，对于独立试验，如果您希望（所有面）落在边界外的总体比率约为，则个体概率应约为（这里有几个近似阶段，而不是甚至计算正态近似值；要真正准确地工作，您需要很多面孔和超出限制的小概率）。 $k^\text{th}$ $5\%$ $0.05/k$

因此，对于个面和总体的超出限制的比率，我希望个别超出每个限制的概率大约是该限制的一半或。4 个面的比例为高于上限，低于下限。 $k$ $5\%$ $0.025/k$ $0.025/4 = 0.00625$ $0.00625$

处绘制了四面骰子 (d4) 情况的外部限制，其中截断了上尾标准正态分布的这大约是（同样，对限制过于准确并不值得，因为我们正在逼近这个东西）。 $\mu \pm c\sigma$ $c$ $0.00625$ $2.5$

d6 的工作原理类似，但它的限制切断了的上尾区域，这大致对应于正态分布的 $0.025/6$ $c=2.64$

对于 d4，如果原假设为真，则任何计数超出平均值 2.5 个标准差的外部边界的实际病例比例实际上约为 4.2%（我通过模拟得到）——很容易接近出于我的目的，因为我并不特别需要它是 5%。d6 的结果将接近 5%（结果约为 4.5%）。因此，所有这些近似水平都工作得很好（忽略计数之间存在负相关性、个体尾部概率的 Bonferroni 近似以及二项式的正态近似，然后将这些截止值四舍五入到某个方便的值）。

这些图表并非旨在取代卡方检验（尽管它们可以），而是更多地提供视觉评估，并帮助确定对卡方结果大小的主要贡献。

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