机器算法验证 - 傅里叶变换和多元法线 - 吾爱随笔录

傅里叶变换和多元法线

机器算法验证时间序列傅里叶变换多元正态分布

2022-04-11 21:24:09

我想知道如何为经过傅里叶变换的向量指定多元正态分布。例如：

假设我们有在尚未傅立叶变换域中给出的多元法线的平均向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和协方差矩阵我可以从这个分布 $\boldsymbol{\Sigma}$ 中画出一个向量样本 $\mathbf{x}$

x \sim N (μ, Σ)

$\mathbf{x} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$

我可以使用和计算我的示例的 PDF 。然后，这个样本被傅里叶变换，。 $\mathbf{x}$ $\boldsymbol{\mu}$ $\boldsymbol{\Sigma}$ $\mathbf{x}$ $FT(\mathbf{x}) = \mathbf{\tilde x}$

我采取什么步骤来转换 $N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 以便我可以直接计算傅里叶变换样本 $\mathbf{\tilde x}$ 的 PDF ？

2个回答

多元法线有一些很好的特性。特别是，如果，那么，对于任何矩阵，。 $x\sim N(\mu,\Sigma)$ $A$ $Ax \sim N(A\mu, A\Sigma A^T)$

注意到（离散）傅里叶变换可以用矩阵形式写成，我们看到。 $FT(x) = Fx$ $FT(x) \sim N(F\mu, F\Sigma F^T)$

您可以通过检查第一个和第二个时刻来证明这一点。类似。 $E(Fx) = FE(x)$ $E((x- F\mu)(x-F\mu)^T)$

是循环矩阵时，这个想法尤其重要是对角线（因此在数值和理论上更容易处理）。 $\Sigma$ $F\Sigma F^T$

不幸的是，复杂多元正态的定义和约定并未完全标准化。也许“你的”与http://cran.r-project.org/web/packages/cmvnorm/vignettes/complicator.pdf的等式 2 一致，这与https://en.wikipedia.org/wiki/不同Complex_normal_distribution。

您可以根据https://www.cs.nyu.edu/~roweis/notes/gaussid.pdf的 0.7 方程 9b 反转实数多元法线的傅立叶变换。这将为您留下一个真正的多元法线，加上您现有的；然后随心所欲地模拟。一旦有了复杂的多元正态分布中使用的确切定义和约定，就需要对等式 9b 进行相应调整。到时候你应该可以应付了。

另一种方法是在 x 上使用https://www.cs.nyu.edu/~roweis/notes/gaussid.pdf的 0.7 方程 9a 。但是，无论您走哪条路，如果您不了解 μ 的傅立叶变换中使用的约定，您的生活就会很危险。您似乎玩得又快又松，正如您将 μ 作为多元正态的平均值的术语所证明的那样，以及您应用傅立叶变换以获得 μ~ 的东西。这并不意味着任何事情都是错误的，但是您可以轻松地将使用不同约定的事情混在一起，并最终得到错误的答案。

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