您找到一枚硬币，并想检查如果您翻转它，它会落在“正面”一侧的机会（概率）是多少。您将其翻转 10 次（10 个观察的样本）并计算落在“Heads”上的次数，例如$X=3$.

您假设您刚刚所做的是来自二项分布的样本$B(10, p_0)$- 所以我们追求的是参数$p_0$可以得到之间的值$[0,1]$.

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likelihood函数是观察的概率$X=3$对于每个可能的值$p_0$. 估计量是最有可能的MLE值 = 我们可以通过通常的方法找到导数为 0 的点，但log-likelihood对于应用单调递增的变换。所以记录+派生+找到这个的根源：

$$f(p) = \binom{10}{3}p^3(1-p)^7$$

并得到$p_{MLE} = 0.3$

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估计量MAP是. Bayesian estimator这些人不将视为一个简单的参数，而是将其视为另一个具有自己分布的随机变量，称为值应该是什么的先前信念。在我们的示例中，我可能倾向于相信，因为我一生中看到的大多数硬币都是平衡的（或者我是这么认为的）。所以我们假设 p 的先验是。我们的后验概率如下所示：$p_0$prior distribution$p_0$$p_0 = 0.5$$p \sim Normal(0.5,1)$

$$Pr[X|p]Pr[p] = \binom{10}{3}p^3(1-p)^7\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(p-0.5)^2}{2})$$

记录、派生、求根并得到$p_{MAP} = 0.304$

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Naive Bayes是一个classifier给出二元预测的。假设世界上有 2classes个硬币 - 95% 是平衡的（），5% 是被操纵的（）。朴素贝叶斯将使用该先验分布，将其应用于您的样本，并帮助您确定您的硬币是否更有可能是平衡的或被操纵的。您可以将其视为 2 个类的 MAP 估计器的实例化，并选择更可能的一个。我们将平衡表示为并将操纵表示为，如果满足以下条件，我们将预测： $p=0.5$$p=0.7$$X=3$$y=1$$y=0$$y=1$

$$\frac{Pr[y=1|X=3]}{Pr[y=0|X=3]} > 1$$

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