反向对数正态...

我将在此处使用定义 Johnson 系列时常用的符号，因为后者通常提供对数正态的 3 或 4 参数版本来捕获您所寻求的内容。

如果$Z \sim N(0,1)$， 和$Y=\exp\big({\frac{Z-\gamma}{\delta }}\big)$， 然后$Y$有一个对数正态分布与 pdf 说$f(y)$：

$$f(y) = \frac{\delta}{y \sqrt{2 \pi }} {\exp\big[{-\frac{1}{2} \big(\gamma +\delta \log (y)\big)^2}\big]} \quad \quad \text{ for } y > 0$$

应用第二个变换$X=\xi -Y$产生你寻求的反向对数正态，用pdf说$g(x)$：

$$g(x) = \frac{\delta}{(\xi -x) \sqrt{2 \pi }} {\exp\big[{-\frac{1}{2} \big(\gamma +\delta \log (\xi -x)\big)^2}\big]} \quad \quad \text{ for } x< \xi$$

例子

下图表示 Pretorius (1930, p.148) 中表 1 中的分组数据。这里，$X$表示气压高度（分组数据），而垂直轴表示观察到的频率。

• 蓝色方形曲线代表分组数据
• 红色曲线是使用Mathematica的mathStatica包中的自动化JohnsonSL函数拟合的反向对数正态曲线。

参考

• Pretorius, SJ (1930), 斜双变量频率表面，根据数字插图进行检查，Biometrika , 22, 109-223。

与尺度无关（x 值的最小值、最大值），β 分布可以有左尾，幂函数分布也可以。但是，如果您的数据确实导致直方图出现左尾，则您可能可以使用具有四个参数的稳定分布很好地拟合它。稳定用于 QF（量化金融）以拟合资产价格的对数回报，并且可以采用柯西、拉普拉斯、非中心学生 t、贝塔、逻辑、正态等分布的混合。不要寻找它在软件包中，因为它在统计分布中并不流行。