机器算法验证 - 限制分布Wn=Znn2Wn=Znn2,Zn～χ2( n )Zn∼χ2(n) - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性自习收敛渐近的力矩生成函数

2022-04-12 17:06:57

我的尝试以一个尴尬的结果结束。我认为最好使用矩生成函数（MGF）技术。我们可以推导出 MGF $W_n$ 如下：

E [e^{t Z / n^{2}}] = {(1 - \frac{2 t}{n^{2}})}^{- n / 2}

$E \left[ e^{tZ /n^2} \right]= \left(1-\frac{2t}{n^2} \right)^{-n/2}$ 来自卡方 MGF。但问题是，它的极限是

n \to \infty

$n \to \infty$ 树叶

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$1$ 我对我是否做对了一切感到困惑。我错过了什么吗？谢谢。

3个回答

你的计算是正确的。你只需要解释它。哪个分布的 MGF 等于 1？

或者，您的问题可以在不使用 MGF 的情况下解决。回顾 $\chi^2(n)$ 有一个总和的分布 $n$ 的正方形 $N(0,1)$ 随机变量。你对有限的分布有什么看法

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}^{2},

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k^2,$ 如果

X_{k} \sim N (0, 1)

$X_k\sim N(0,1)$ ?

此处的另一个答案对发生的情况提供了有用的提示。我将向您展示问题的另一个方面。使用矩生成函数，很容易证明：

n W_{n} = \frac{Z_{n}}{n} \sim Ga (Shape = \frac{n}{2}, Rate = \frac{n}{2}) .

$n W_n = \frac{Z_n}{n} \sim \text{Ga} \bigg( \text{Shape} = \frac{n}{2}, \ \text{Rate} = \frac{n}{2} \bigg).$

这个随机变量有均值和方差：

E (n W_{n}) = 1 V (n W_{n}) = \frac{2}{n},

$\mathbb{E}(n W_n) = 1 \quad \quad \quad \mathbb{V}(n W_n) = \frac{2}{n},$

所以渐近地，我们有 $n W_n \rightarrow 1$ 作为 $n \rightarrow \infty$ . 鉴于这是真的，你认为会发生什么渐近 $W_n$ ?

极限应该在 0 处退化。

pf：Zn/n2=(Zn/n)(1/n)；
Zn/n → 1 概率，1/n → 0 概率；

因此 (Zn/n)(1/n) → 0 的概率和等于 (Zn/n)(1/n) → 0 的分布使得 Zn/n2 在 0 处退化

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