机器算法验证 - 计算分布的分布的均值和方差 - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性分布分层贝叶斯

2022-03-29 20:19:20

我正在使用以下形式的分层分布：

$\theta\sim N(\mu,\sigma)$

$\mu\sim N(a,b)$

我可以使用 Mathematica 计算平均值和方差，并找到：

$\mathrm{E}(\theta)=a$

$var(\theta)=b^2 + \sigma^2$

但是，我想知道如何用笔和纸来做这件事。有没有比制作pdf更简单的方法 $\theta$ ?

Mathematica 正在努力解决的另一个本质上相似的例子是：

$\theta\sim N(\mu,\sigma)$

$\mu\sim t-student(\nu,a,b)$

同样，有没有人有处理这些类型的“分布分布”设置的方法？另外有人能告诉我这种概率论的名称吗？

最好的，

本

1个回答

您的示例中的期望和方差计算可以使用总期望定律和总方差定律来处理。

E (θ) = E_{μ} (E_{θ} (θ ∣ μ))

$E(\theta) = E_{\mu} ( E_{\theta} (\theta \mid \mu ) )$

其中下标表示期望中哪个变量被平均。内部预期是

E_{θ} (θ ∣ μ) = μ

$E_{\theta} ( \theta \mid \mu ) = \mu$

所以定律给出的总期望为

E (θ) = E_{μ} (μ) = a

$E(\theta) = E_{\mu} ( \mu ) = a$

v a r (θ) = E_{μ} (v a r_{θ} (θ ∣ μ)) + v a r_{μ} (E_{θ} (θ ∣ μ))

$var (\theta) = E_{\mu}( var_{\theta} (\theta \mid \mu ) ) + var_{\mu} ( E_{\theta} ( \theta \mid \mu ) )$

再次，下标告诉我们什么是平均的。

我们可以计算第一项为

E_{μ} (v a r_{θ} (θ ∣ μ)) = E_{μ} (σ^{2}) = σ^{2}

$E_{\mu}( var_{\theta} (\theta \mid \mu ) ) = E_{\mu}( \sigma^2 ) = \sigma^2$

第二个为

v a r_{μ} (E_{θ} (θ ∣ μ)) = v a r_{μ} (μ) = b^{2}

$var_{\mu} ( E_{\theta} ( \theta \mid \mu ) ) = var_{\mu} ( \mu ) = b^2$

从mathematica中恢复你的结果。

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