机器算法验证 - 复合泊松随机变量 - 吾爱随笔录

复合泊松随机变量

机器算法验证随机变量协方差泊松过程复合分布

2022-03-23 19:41:52

复合泊松随机变量定义为：其中是从具有强度参数的泊松分布中随机抽取的，而是独立同分布的随机变量。 $S$ $S=\displaystyle\sum^N_{i=1}X_i,$ $N$ $\lambda$ $X_i$

什么是？ $\operatorname{Cov}(S,N)$

$N$ 是一个泊松随机变量，均值为。和分量分布的复合泊松随机变量。 $\lambda$ $S$ $\lambda$ $F$

$X_i$ 其中 i =1,2,...是具有分布 $F$

1个回答

我们将表示，和。要找到协方差，我们可以使用公式 $\mu_N = \text{E}(N)$ $\mu_X = \text{E}(X)$ $\sigma_N^2 = \text{Var}(N)$

\begin{aligned} Cov (S, N) & = E (S N) - E (S) E (N) \\ = E (S N) - μ_{N}^{2} μ_{X} \end{aligned}

$\begin{align} \text{Cov}(S, N) &= \text{E}(SN) - \text{E}(S) \text{E}(N) \\ &= \text{E}(SN) - \mu_N^2 \mu_X \end{align}$

通过迭代期望找到第二个等式

\begin{aligned} E (S) & = E [E (S ∣ N)] \\ = E [E (\sum_{i = 1}^{N} X_{i} ∣ N)] \\ = E [N E (X)] \\ = μ_{N} μ_{X} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{E}(S) &= \text{E} [ \text{E}(S \mid N) ] \\ &= \text{E} \left [ \text{E} \left (\sum_{i=1}^{N} X_i \mid N \right ) \right ] \\ &= \text{E} [ N \text{E}(X) ] \\ &= \mu_N \mu_X . \end{align}$

为了找到，我们做了一个类似的条件论证 $\text{E}(SN)$

\begin{aligned} E (S N) & = E [E (S N ∣ N)] \\ = E [N^{2} E (X)] \\ = μ_{X} (σ_{N}^{2} + μ_{N}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \text{E}(SN) &= \text{E} \left [ \text{E}(SN \mid N) \right ] \\ &= \text{E} \left [ N^2 \text{E}(X) \right ] \\ &= \mu_X \left ( \sigma_N^2 + \mu_N^2 \right ) \end{align}$

所以我们得到

\begin{aligned} Cov (S, N) & = μ_{X} σ_{N}^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{Cov}(S, N) &= \mu_X \sigma_N^2 . \end{align}$

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