你是正确的，你可以用你写的任何一种方式来表达；这就是“平等”的含义。但是，您对中心极限定理有误解，该定理明确涉及，而不是。$Z$$Z$$\bar X$

人们通常喜欢认为样本均值收敛，因此以下渐近成立，因为它是中心极限定理的代数重排。

$$\bar X_n \sim N(\mu, \sigma^2/n)$$

这样的概念是有问题的，因为它使收敛目标成为移动目标，因为即方差会随着样本量的增加而变化。此外，如果我们有一个有界支持的分布，您建议它的样本均值可能不在支持范围内，例如表示不给出负值的指数分布。（正态分布在整条实线上都有支持。）$n$$\bar X=-1$

此外，总和不必做任何接近收敛的事情。考虑。这种均匀分布符合经典中心极限定理的假设。但是，这些值的总和将发散到无穷大，例如至少除以样本大小可以控制平均值并防止平均值爆炸到无穷大。$X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} U(1,2)$$1+1.1+1.7+1.2+\dots$

是的，你是对的。考虑：

$$\begin{aligned} Z &= \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\\ &=\frac{n\bar{X}-n\mu}{n\frac{1}{\sqrt n}\sigma}\\ &=\frac{n}{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\\ &=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}} \end{aligned}$$

尽管正如 Dave 指出的那样，CLT 在技术上与随机变量的标准化或标准化总和有关，而不是样本均值。