好的，对于这个答案，我将假设独立随机变量具有存在于某个包含零的开区间中的矩生成函数 (mgf)。为了消除一个可能的疑问，mgf 永远不能为零，因为它们是由指数函数的期望给出的$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_X(t) = \E e^{t X}$. 指数函数处处为正，因此期望永远不会为零（或负）。

所以，假设是$X_1 +X_2$具有相同的分布$X_1+X_3$. 将 mgf 写为$M_i(t)=M_{X_i}(t)$. 它遵循

现在，如果 mgf 不存在怎么办？用特征函数替换证明中的 mgf。这变得更加复杂，因为这涉及复数，并且我在上面证明 mgf 永远不能取零值的证明在这种情况下不起作用。但是我们可以通过以下方式保存这种情况下的论点：特征函数在整个空间上始终（一致）连续，请参见https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory) 。因为它总是在参数 0 处取值 1，所以我们可以找到一个包含零的开区间，其中三个特征函数都没有零，因此取消工作如上（这个参数也适用于矩生成函数）。

一般来说，没有。

@kjetil b halvorsen 给出的证明很好，只要矩生成函数存在。

然而，当它没有时，也有反例。首先，我们需要回忆一下波利亚的一个定理。（更多细节可以在G. Polya 的文章 Remarks oncharacterisic functions中找到）

如果 φ 是满足条件的实值偶数连续函数

• $\varphi(0) = 1$
• $\varphi$是凸的$t<0$,
• $\varphi(\infty) = 0$,

则 φ(t) 是绝对连续对称分布的特征函数。

现在从这个定理来看，下面的两个函数是一些随机变量的特征函数，称它们为$X_1$和$X_2$.

现在打电话$X$特征函数为的随机变量 $x \rightarrow (1-|x|)^+$（再次，使用波利亚定理）。

现在，$\phi_{X_1}\phi_{X}=\phi_{X_2}\phi_{X}$无处不在，所以$X_1+X\stackrel{d}=X_2+X$但$X_1$和$X_2$有不同的分布。