这是一个简单的例子，可能有一些直观的价值。

在美国职业棒球大联盟中，每支球队每赛季打 162 场比赛。假设一支球队赢得或输掉每场比赛的可能性相同。这样一支球队的胜负多于多少比例？（为了具有对称性，如果一支球队的输赢在任何时候都打成平手，我们说如果在打平之前它领先，我们就说它领先，否则就落后了。）

假设我们随着赛季的进行查看球队的输赢记录。对于我们的球队来说，输赢就像掷硬币决定的，你可能会认为一支球队很可能在整个赛季中领先大约一半的时间。实际上，一半的时间是最不可能领先的时间。

下面的“浴缸形”柱状图显示了这样一支球队在一个赛季中领先的时间比例的大致分布。曲线是直方图基于一个团队的 20,000 个模拟 162 场比赛的赛季，其中胜利和失败就像独立掷硬币一样，在 R 中模拟如下：$\mathsf{Beta}(.5,.5).$

set.seed(1212);  m = 20000;  n = 162;  prop.ahead = numeric(m)
for (i in 1:m)
 {
 x = sample(c(-1,1), n, repl=T);  cum = cumsum(x)
 ahead = (c(0, cum) + c(cum,0))[1:n]  # Adjustment for ties
 prop.ahead[i] = mean(ahead >= 0)
 }

cut=seq(0, 1, by=.1); hdr="Proportion of 162-Game Season when Team Leads"  
hist(prop.ahead, breaks=cut, prob=T, col="skyblue2", xlab="Proportion", main=hdr)
curve(dbeta(x, .5, .5), add=T, col="blue", lwd=2)

注意： Feller (Vol. 1) 讨论了这样一个过程。的 CDF是反正弦函数的常数倍数，因此 Feller 称其为“反正弦定律”。$\mathsf{Beta}(.5,.5)$

BruceET 的回答确实帮助我更好地理解了这一点。

我突然想到，这种“浴缸形状”是由于任何具有保存状态的随机过程造成的。

所以我想写一个快速的答案，可以帮助像我这样理解数学并且不是新手，但喜欢找到展示自然现象的案例的其他人。

• ,的情况表示随机掷硬币并保存状态。一些例子： $\alpha = 0.5$$\beta = 0.5$
  • 投注时的总赢或输（假设 50%/50% 的赔率和恒定的投注规模）
  • 运动队记录像布鲁斯的例子
  • 今年总降雨量将比去年更多的可能性（这不是 50%/50% 并且有很多外部因素，但它确实捕捉到了对获得 Jeffrey 的“马蹄形”至关重要的“总降雨量”先验生成。

非常感谢，布鲁斯！

如果以为例，则 pdf 看起来像马蹄铁，在区间附近密度低。因此，作为先验，它在极端情况下增加了很多密度，这有助于后部具有相似的形状。$\alpha=\beta=0.5$$(0,1)$$0.5$

我将其理解为一种帮助后部从向或移动的设备，如果您尝试做出二元决定，这可能会有所帮助。 $50\%$$0$$1$