我在用
估计的运动队在主场比赛的赛前获胜概率（根据某个模型估计）
预测
本场比赛主队得分的实际比例（即主队得分除以本场比赛总得分）。
用图表表示，数据看起来像这样。
数据可在此处查看。
我做了一个简单的线性回归，它产生了参数和。因此，即使在的最大可能值下，它也不能预测主队将得分超过 100%。
然而，这里对其他问题的一些解读表明，线性回归通常被认为不适用于结果变量为比例的情况。
这个问题与这个问题非常相似，其中一张海报试图预测一支球队的胜率。有人建议发帖者应将获胜比例转换为获胜次数。但是，在我的问题中，使用球队得分的数量对我来说不是一回事。
我在这里使用线性回归有多不合适？
我应该使用什么分析，请记住，与链接问题不同，我不能只使用团队得分的原始分数（因为我真的对他们得分的比例感兴趣）。如果预测变量是连续比例，gung的答案似乎表明 beta 回归，如果它是计数比例，则表明逻辑回归。但是，我不确定我的预测器是这两个中的哪一个。
我的预测变量也按比例测量有什么区别吗？
具有二项式分布和 logit 链接的 glm 应该可以正常工作。如果没有概率或者, beta 回归是另一种可能性。在这种情况下，它们产生几乎无法区分的结果（未显示）。
实际的 logit 和估计概率的 logit 之间的关系看起来非常线性（见下图），这将导致我使用估计概率的 logit 作为预测器。用于生成图的R代码位于此答案的底部。
让我们以原始比例可视化模型（点是部分残差）：
可能的扩展包括：
R下面的代码）。Stata 的fracreg命令默认使用它们。quasibinomialas family in glm）R代码：
library(betareg)
library(visreg)
library(lmtest)
library(sandwich)
# Convert probabilities to log-odds
est_p_logit <- log(est_prob/(1 - est_prob))
act_p_logit <- log(act_prob/(1 - act_prob))
# Check linearity
scatter.smooth(act_p_logit~est_p_logit, las = 1)
# GLM with binomial distribution and logit-link
mod <- glm(act_prob~est_p_logit, family = binomial)
summary(mod)
# Robust standard errors
coeftest(mod, vcov = vcovHC, type = "HC3")
# Visualize GLM model
res_glm <- visreg(mod, scale = "response", ylim = c(0, 1), partial = TRUE, rug = 2)
# Beta regression
mod_beta <- betareg(act_prob~est_p_logit)
# Compare GLM results with beta regression
res_beta <- visreg(mod_beta, scale = "response", ylim = c(0, 1))
lines(res_beta$fit$visregFit~res_beta$fit$est_p_logit, type = "l", col = "red")
与我认为是一个很好的答案的其他答案不同，我认为线性回归足以满足您的确切情况。作为原则问题，由于结果的硬性界限，它可能是错误的，但是您的数据图表明了为什么它是一个足够好的近似值。在这两个极端情况下，您的数据的平均值与结果的极端情况相距甚远，因此，没有关系的弯曲或弯曲以尊重原始结果的界限。简而言之，您的预测似乎与结果呈线性相关，这是线性回归的主要要求。
如果上述情况属实，那么线性模型的优点是：
我从探索数据开始：
dat <- read.csv("Estimated probability of winning vs Actual proportion of score - Sheet1.csv")
names(dat) <- c("x", "y")
ggplot(dat, aes(x, y)) + geom_point(shape = 1) + theme_bw() +
geom_smooth() + geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, col = "red")
蓝线是广义的加法模型更平滑。红线是线性拟合。人们可以观察到末端的一些弯曲，但向外而不是向内。所以你的预测与结果并不完全线性相关。由于您有足够的数据点，因此这可能不是任意的。
的 Logit 变换在这里不太可能有帮助，相反，logit 转换因为它向外弯曲。我们可以缩小中间有点值并扩大更大价值观：
ggplot(dat, aes(log(x / (1 - x)), y)) + geom_point(shape = 1) + theme_bw() +
geom_smooth() + geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, col = "red")
这一次，线性拟合非常接近平滑拟合，但在尾部不是很好，但对于大多数应用来说已经足够了。同方差是一个合理的假设。
所以选择的回归模型是：
coef(summary(fit.lm <- lm(y ~ log(x / (1 - x)), dat)))
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.50116288 0.002897402 172.96973 0.000000e+00
log(x/(1 - x)) 0.05446613 0.002045560 26.62652 6.846189e-124
当预测的对数赔率为零时，我们预计获胜概率约为 50%。高出对数，预期高出 5%。如上面第二张图所示，对数赔率在任一方向上都不会超过 5。所以所有的预测值被限制在大约 25% 和 75% 之间。回归效果足够清晰，并且样本量足够大，我相信该推论总体上不会产生误导。总是有更好的精度的替代品。
我们还可以了解拟合线的误差。
sigma(fit.lm)
[1] 0.09958555
给定一个预测，大约 95% 的值应该在大约. 添加到最小和最大预测值时的间隔也在界限之内。
线性方法的理由是它的简单性和在这个特定应用中的充分性。