一般来说，积分的期望值是一个迭代积分，因此适用于积分交换的正常数学规则。为了更清楚地看到这一点，我们首先注意到期望算子是一个积分操作。形式上，一个随机变量$X$在概率空间$(\Omega, \mathscr{G}, P)$具有由Lebesgue 积分定义的期望值：

$$\mathbb{E}(X) \equiv \int_\Omega X(\omega) dP(\omega).$$

现在，假设我们有一个随机变量，它是某个其他函数的积分：

$$X(\omega) = \int_\mathbb{R} H(r,\omega) dr.$$

在这种情况下，期望值可以写成迭代积分，如下所示：

$$\mathbb{E}(X) = \int_\Omega \Bigg( \int_\mathbb{R} H(r,\omega) dr \Bigg) dP(\omega).$$

现在，有许多定理与何时允许在这种迭代积分中交换积分阶有关，但最重要的是Fubini 定理。（如果$H$是上述表达式中的可测量函数，并且$\mathbb{E}|H|$是有限的，那么你将能够在这个定理下交换积分的顺序。）这是一个很大的主题，所以我不会尝试在这里完整地阐述它。相反，我将向您推荐有关积分和测度论的书籍，这些书籍涉及 Lebesgue 积分的基础和迭代积分的应用。祝您探索顺利！