机器算法验证 - PCA：相反符号的特征向量，并且无法在 R 中使用“solve”计算特征向量 - 吾爱随笔录

机器算法验证 r 主成分分析特征值

2022-03-21 10:57:44

我正在用 R 语言学习 PCA。我现在遇到了两个我不明白的问题。

我正在使用一些自定义代码在 R 中对 318×17 数据集执行 PCA 分析。我在 R 中使用特征函数来查找特征值和特征向量。但是我的第一个和第三个特征向量与我的手册的符号相反。我的第二个特征向量几乎相同。
我知道给定一个方阵 A，表征特征值的条件是存在一个非零向量使得；这个方程可以改写如下：。 $\lambda$ $x$ $Ax=\lambda x$ $(A - \lambda)x=0$

现在我计算我的数据的协方差并具有特征值。我想求解这个线性组合方程以找到并与初始特征向量进行比较。当我在 R 中使用求解函数时，我的向量始终为零。 $x$ $x$

这是我的问题：为什么标志不同？如何在 R 中使用求解函数来找到非零向量？ $x$

1个回答

1) 特征向量的定义是灵巧的。如果是特征向量，那么也是，因为 $Ax = \lambda x$ $x$ $-x$

A (- x) = - A x = - λ x = λ (- x)

$A(-x) = -Ax = -\lambda x = \lambda (-x)$

因此，本征基的定义是符号模糊的。

2) 很难确定，但我强烈怀疑这里发生了什么。你的方程式

(A - λ) x = 0

$(A - \lambda)x = 0$

在技术上是不正确的。正确的方程是

(A - λ I) x

$(A - \lambda I)x$

第一个等式通常用作第二个等式的简写。一般来说，这是明确的，因为没有真正的数学方法可以从方阵中减去向量，但这是对符号的滥用。虽然R，你有广播。所以如果你这样做

> M <- matrix(c(1, 1, 1, 1), nrow=2)
> M - .5
     [,1] [,2]
[1,]  0.5  0.5
[2,]  0.5  0.5

它不是你真正想要的。正确的方法是

> M - diag(.5, 2)
     [,1] [,2]
[1,]  0.5  1.0
[2,]  1.0  0.5

你得到零解的原因是你从开始的矩阵是可逆的。很可能（几乎可以肯定），通过从每个条目中减去相同的数字得到的矩阵也将是可逆的。的唯一解是零向量。 $A$ $Ax = 0$

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