机器算法验证 - 学习概率不好的推理。有条件和无条件 - 吾爱随笔录

学习概率不好的推理。有条件和无条件

机器算法验证可能性条件概率

2022-03-15 06:40:45

我有一个问题，我现在正在学习概率（我是一名程序员）并且开始我有这个：

（资料来源：Minka。）我的邻居有两个孩子。假设一个孩子的性别就像掷硬币一样，很可能，先验地，我的邻居有一个男孩和一个女孩，概率为 1/2。其他可能性——两个男孩或两个女孩——的概率分别为 1/4 和 1/4。

一个。假设我问他有没有男孩，他说有。一个孩子是女孩的概率是多少？

湾。假设我碰巧看到他的一个孩子跑过，那是个男孩。另一个孩子是女孩的概率是多少？

现在我的理由是：

BB = 1/4 = 0.25
BG = 1/4 = 0.25
GB = 1/4 = 0.25
GG = 1/4 = 0.25

所以对于 a.，GI 的概率只需将 p(B,G) + p(G,B) = 0.5 相加即可

而对于 b。p(G|B) = p(G,B)/p(B) = 0.5/0.5 = 1 这是错误的，但我不明白为什么。

2个回答

对于 (a)，一种简单的查看方法是，您已将概率空间减少到仅包含至少一个男孩的组合：

BB = 1/3
BG = 1/3
GB = 1/3

基于你的邻居说他至少有一个男孩这一事实，GG 不再是可能的。在剩下的可能性中，你有 2/3 的可能性是他有一个女孩。他给你的信息将他生女孩的概率从 3/4 降低到了 2/3。形式上，这可以如下所示：

P (A t l e a s t o n e g i r l | A t l e a s t o n e b o y) = \frac{P (A t l e a s t o n e g i r l \cap A t l e a s t o n e b o y)}{P (A t l e a s t o n e b o y)}

$P(At\ least\ one\ girl|At\ least\ one\ boy) = \frac{P(At\ least\ one\ girl\ \cap At\ least\ one\ boy)}{P(At\ least\ one\ boy)}$ 从你原来的方框中，我们可以看到至少有一个男孩和至少一个女孩的概率是 BG + GB = 0.25 + 0.25 = 0.5，但我们需要除以至少一个男孩的概率，即 BB + BG + GB = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75，所以我们得到

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}

$\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{4}} = \frac{2}{3}$ .

对于（b），既然我们已经看到了一个男孩，剩下的唯一不确定性就是另一个孩子的性别，并且在没有其他信息的情况下，另一个孩子是女性的概率是 1/2，这就是答案。

显示这一点的另一种方法（a 部分）是将贝叶斯规则编写如下：

P(B|G) = P(G)P(B|G) / P(~G)P(B|~G) + P(G)P(B|G) = (0.5 * 0.5) / (0.5 *0.25 + 0.5*0.5) = 2/3

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