当从有限总体中无放回抽样时，观测值彼此负相关，样本方差$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2$是对总体方差的轻微偏差估计$\sigma^2$.

Robert Serfling在此链接中的推导清楚地解释了正在发生的事情。作者首先证明，如果样本中的观测值具有恒定的协方差（即$\mathrm{Cov}\left(x_i, x_j \right) = \gamma$对所有人$i\neq j$） 那：

$$E[s^2] = \sigma^2 - \gamma$$

对于独立抽奖（因此$\gamma = 0$）， 你有$E[s^2] = \sigma^2$样本方差是总体方差的无偏估计。但是，从有限人口中进行抽样而不进行替换的问题是，您的抽签彼此之间呈负相关！

在从一定规模的总体中进行抽样而不进行替换的情况下$N$：

$$\text{For $i\neq j$ }\quad \mathrm{Cov}\left(x_i, x_j \right) = \frac{-\sigma^2}{N-1}$$ 因此： $$E\left[s^2\right] = \frac{N}{N-1}\sigma^2$$

对于具有简单随机抽样而无需放回的有限总体，样本方差确实存在偏差。获得无偏结果的解决方案是将样本方差乘以$\frac{N-1}{N}$， 在哪里$N$是人口规模。

我是工程师，不是数学家。所以我的证明是在 Excel 中从有限的人口中建立一个完整的抽样分布，并假设抽样没有替换。我发现抽样分布样本方差的平均值（$s^2$) 不等于总体方差。$s^2$在这种情况下是有偏见的。我不知道为什么文学作品经常忽略这个事实。但如果我乘以平均值$s^2$经过$\frac{N-1}{N}$， 在哪里$N$是人口规模，然后你瞧，乘积正好等于人口方差。

直观地说，随着我的样本大小 n 增加并接近并最终等于总体大小$N$($n=N$)，如果样本方差是无偏的，我应该期望样本方差接近总体方差。这不会发生，因为样本除以$n-1$和人口$N$. 将样本方差乘以$\frac{N-1}{N}$解决了这个难题。

我不知道你的陈述来自哪里，但你呈现它们的方式是错误的。直接取样本的方差（即除以$n$）我们得到一个有偏的估计量，但使用样本方差（除以$n-1$)我们得到一个无偏估计量。

我认为您的陈述来自不同的冲突来源，或者您的来源在不同部分使用了不同的符号。也许 ”$s^2$" 表示方差 ($n$）在一页中和样本方差（$n-1$) 在另一个。一个公式使用“$n$“其他用途同义”$N$“让我怀疑它们并不一致。