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OP 真正寻求具有对数凹密度函数的分布——他区分的商是我们检查的商的倒数，以确定函数的对数凹性或对数凸性。

具体来说：对于是对数凹的，这意味着是凹的，为此我们要求$f$$\ln f$

$$\frac {d^2}{dx^2} \ln f \leq 0 \implies \frac {d}{dx}\left (\frac {f'}{f}\right) \leq 0 \implies f''\cdot f-(f')^2 \leq 0$$

从他的角度来看，OP希望

$$\frac {d}{dx} \left (\frac {F'}{F''}\right) \geq 0 \implies \frac {d}{dx} \left (\frac {f}{f'}\right) \geq 0 \implies (f')^2 - f\cdot f'' \geq 0$$

重新安排后，OP想要

$$f\cdot f'' - (f')^2 \leq 0$$

这是log-concavity的条件，而不是log-convexity 的条件。通过使用倒数来表达条件可能会引起一些混乱。

一些具有对数凹密度的“命名”分布的一个很好的免费资源是

马克巴尼奥利和泰德伯格斯特伦。“对数凹概率及其应用” 2004

它侧重于对数凹度，但也包含对数凸度的结果。我们看到 OP 的断言“Weibull, normal, log-normal,exponential, gamma”具有对数凹密度并不完全正确：例如，正态分布和指数分布确实具有对数凹密度，而 Weibull 和 gamma它们的一些化身也具有对数凹密度，而对于其他化身，它们具有对数凸密度。对数正态的密度既不是对数凹也不是对数凸。

另一个更抽象和严格地检查对数凹性和对数凸性的资源是

安，我（1998）。对数凹面与对数凸面：完整的表征。经济理论杂志，80（2），350-369。

设。自从$f(x)=F^\prime(x)$

$$\frac{d}{dx} \frac{F^\prime(x)}{F^{\prime\prime}(x)} = \frac{d}{dx}\left(1/\frac{f^\prime(x)}{f(x)}\right)= \frac{d}{dx}\left(1/\frac{d}{dx}\log(f(x))\right)=-\frac{\frac{d^2}{dx^2}\log(x)}{{(\cdots)}^2},$$ 左边的正性保证了。一个标准的微积分定理断言是凹的（在一个开集上），只要它的二阶导数处处为负。这就是“log-concave”的意思。$\log(f)$$\log(f)$

一个重要的技术条件是函数的域是凸的。实数的凸集是区间，可能是无限的。连续密度函数的“支持”是非零数字集合的闭包。通过扩展，我们也可以称该集合为分布函数的支持。$f$$F$

因此，您的函数是区间支持的所有分布函数，其密度函数是二阶可微的和对数凹的。

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为什么要提供有关支持的技术细节？排除这种局部特征不是全局特征的情况。例如，让是一个随机变量，其密度函数在区间上等于 ，在其他地方为零。和的等量混合的分布函数中连续可微，其中它的对数是或。两者都是凹函数——但不应该是对数凹分布，因为$X$$2x$$(0,1)$$F$$X$$X+2$$(0,1)\cup(2,3)$$\log(x)$$\log(x-2)$$F$$f$其本身显然不是凹的，并且对数凹度旨在比凹度更强。

难道我们不能不理会这个，只需要在整个实线上都支持当然——但这会排除有趣和重要的例子，比如 Gamma 分布。$F$