除了 Bey 的回答之外，您可能会关心这一点是有原因的。这个想法是 MGF 是拉普拉斯变换，在这种情况下，它要求您的（连续）概率密度$f(x)$对于大的，至少呈指数快速下降$x$， IE$e^{tx}f(x)\rightarrow 0$为了$x\rightarrow\infty$. 这可能会有所削弱，但主要思想仍然存在。

无论如何，通常情况下，如果$t$太大，这就变成了假的。例如，如果$f(x)=2e^{-2x}$，则 MGF 存在（即是有限的），对于$t\in[0,2)$. 只要$f(t)$是一个密度，一切都很好$t<0$但事实证明$t>0$包含更丰富的信息。一般来说，说 MGF 存在于$0$意味着有一些$\epsilon>0$这样您的 MGF 对所有人都是有限的$t\in[0,\epsilon)$. 一旦你的 MGF 存在，通过抽象的废话，它对应于一个独特的分布（你的$f(x)$) 并且您可以利用它所有的好属性，例如使用它来绑定概率。与特征函数（即傅立叶变换）类似，您的 MGF 的规律性接近$t=0$与你的密度衰减率密切相关$f(x)$作为$x\rightarrow\infty$，您可以在最后一个链接中看到一个示例。

您可能更熟悉 MGF 的衍生物，评估为$t=0$给你回馈你分发的时刻，所以也许你可以相信为什么你真的只需要知道你的$MGF$看起来很近$t=0$提取关于随机变量的几乎所有内容。

随机变量的 MGF$X$是（谁）给的：

$$\mathrm{MGF}_X = \mathbb{E}[e^{tX}]$$

它的功能在哪里$t$.

如您所见，MGF 在$t=0$总是$1$， 即使$X$比如说，一个没有矩的柯西随机变量。所以，基本上，当数学家说“邻域”时，他们的意思是：

$$\exists \epsilon>0: \forall t \in (-\epsilon,\epsilon),\;\;\mathbb{E}[e^{tX}]< \infty$$

请注意，它只需要是一些正常数。

我想我会用一个例子来说明我们什么时候可能不得不担心这个问题。

认为$X \sim Exp(\lambda)$使得概率密度函数为：

$$f(x\vert \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$$

那么矩生成函数为：

$$M_X(t) = E(e^{Xt}) = \int_0^\infty e^{xt} \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_0^\infty e^{x(t - \lambda)}dx$$

请注意，如果$t - \lambda \geq 0$，然后这个积分发散。

$$M_X(t) = \lambda\int_0^\infty e^{x(t - \lambda)}dx = \begin{cases} \infty, & t \geq \lambda \\ \frac{\lambda}{\lambda - t}, & t < \lambda \end{cases}$$

换句话说，$M_X(t)$只有当$t < \lambda$. 但是由于$\lambda$是严格正数，存在邻域$N_\lambda(0)$存在 MGF，我们可以以通常的方式使用它。