机器算法验证 - Cramer-Rao 对分布参数估计的界限χ2χ2 - 吾爱随笔录

我在非中心分布中遇到了一个令人不快的问题。 $\chi^2$

我使用随机变量，分布为，其中是自由度，是非中心参数（应该以某种方式估计）。 $\chi^2_{\nu}(\lambda)$ $\nu$ $\lambda$

在 S. Kotz, N. Balakrishnan, NL Johnson 的“Continuous Multivariate Distributions Vol.2”中，据说 Cramer-Rao 对的无偏估计量的方差的界是（第 453 页，eq. 29.39b ): 其中 - 是样本大小， -true正在估计的非中心性参数的值，是具有以下上估计和下估计的参数（第 452 页，等式 29.36a）：和 $\hat{\lambda}$

C R B_{\hat{λ}} = 4 (θ λ^{- 1} - 1)^{- 1} n^{- 1},

$CRB_{\hat{\lambda}}=4(\theta\lambda^{-1}-1)^{-1}n^{-1},$

n

$n$

λ

$\lambda$

θ

$\theta$

1 + λ^{- 1} - \frac{1}{2} ν λ^{- 2} + \frac{1}{4} ν^{2} λ^{- 3} \leq θ λ^{- 1} σ^{- 2} \leq 1 + \frac{5}{4} λ^{- 1} - \frac{20 ν - 13}{39} λ^{- 2},

$1+\lambda^{-1}-\frac{1}{2}\nu\lambda^{-2}+\frac{1}{4}\nu^2\lambda^{-3}\leq \theta\lambda^{-1}\sigma^{-2}\leq 1+\frac{5}{4}\lambda^{-1}-\frac{20\nu-13}{39}\lambda^{-2},$

σ

$\sigma$ 是噪声方差。

我试图分析当时的行为。但问题是它归零了！但在我看来，这不是我们应该得到的。我使用物理学或数理统计的类比。例如，当估计某个确定的向量与其被加性高斯白噪声污染的经验样本之间的欧几里得距离的平方时，就会出现这个问题，该向量的所有点均值为零且方差相等。我得到的结果（ when）促使我得出结论，对于固定水平的噪声（ $CRB_{\hat{\lambda}}$ $\lambda \to 0$ $CRB_{\hat{\lambda}}\to 0$ $\lambda \to 0$ $\sigma=\mbox{const}$ ) 可以以几乎无限的精度估计无限接近的向量（估计的方差几乎为零）。

但这不应该是真的。它应该是相反的方式。那么问题出在哪里？