我有一个（小）人口，我希望从中抽样。我分配与成比例的概率。的概率乘积确定每个样本发生的概率。我将包含的样本的概率相加，并且我相信（错误地？）在独立的假设下（即使用替换抽样），这给了我的包含概率。我查看了采样包中包含概率函数返回的包含概率，我得到了不同的答案。我不明白为什么，有人能解释一下吗？$y$$y_i$$y_1$$y_1$

library(survey)
library(sampling)
library(gtools)

set.seed(123)
y <- c(1190,26751,68570,34536)
p <- y/sum(y)

df <- data.frame(permutations(n=length(y), r=2, v=1:length(y), repeats.allowed = T))
df$p <- p[df$X1] * p[df$X2]; df

# X1 and X2 denote the index of the y value that is included 
# in the sample.

    X1 X2  p
1   1  1 0.00008245932
2   1  2 0.00185367169
3   1  3 0.00475145854
4   1  4 0.00239312195
5   2  1 0.00185367169
6   2  2 0.04167022794
7   2  3 0.10681198947
8   2  4 0.05379697926
9   3  1 0.00475145854
10  3  2 0.10681198947
11  3  3 0.27378782541
12  3  4 0.13789611111
13  4  1 0.00239312195
14  4  2 0.05379697926 
15  4  3 0.13789611111
16  4  4 0.06945282329

samplesSet <- data.frame(df[1 == df$X1  | 1 == df$X2, ])
sum(samplesSet$p)

pik <- inclusionprobabilities(y, 2)
data.frame(pik=pik,name=1:length(y))

更新：感谢@whuber 和@StasK。很明显，包含概率反映了没有替换的抽样。但是，我不确定包含概率返回的包含概率是多少。它们似乎是这样计算的：

并进行调整以确保没有概率大于 1，并且概率之和对应于样本大小。

如果我假设我的人口是使得选择的概率是，和然后我取 2 个样本，计算包含概率分别为、和。显然，这些不是包含概率返回的内容，所以我现在的问题是我是否错误地计算了包含概率，或者包含概率函数是否返回了代表包含概率但实际上不是包含概率的东西？$y=\{1,2,3\}$$\frac{1}{6}$$\frac{2}{6}$$\frac{3}{6}$$\frac{5}{12}$$\frac{11}{15}$$\frac{17}{20}$

myn <- 2
a <- c(1,2,3)
p <- myn * a/sum(a); p
[1] 0.3333333 0.6666667 1.0000000

inclusionprobabilities(a, myn)
[1] 0.3333333 0.6666667 1.0000000

谢谢。