对于遵循指数分布的随机变量的倒数，这将发生。

让$X$遵循具有概率密度函数的指数分布

$$f_X(x) = \alpha e^{-\alpha x}$$

考虑

$$Y = \frac 1{X} \Rightarrow X = 1/Y \Rightarrow \frac{\partial X}{\partial Y} = -Y^{-2}$$

然后

$$f_Y(y) = \left|\frac{\partial X}{\partial Y}\right|\cdot f_X(1/y)= \alpha y^{-2}e^{-\alpha/y},\;\; y\in (0,\infty)$$

样本的对数似然$n$观察将是

$$\ln L = n\ln\alpha -2\sum_{i=1}^n\ln y_i -\alpha \sum_{i=1}^n(1/y_i)$$

和

$$\frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \frac n{\alpha}-\sum_{i=1}^n(1/y_i) = 0 \Rightarrow \hat \alpha_{ML} = \frac n{\sum_{i=1}^n(1/y_i)}$$

这是调和平均值$y$的。