当然，这可能会发生：如果新预测变量包含在模型中已经存在的预测变量的线性跨度中。

从几何角度考虑：您的新“拟合子空间”（预测变量的可能线性组合）与旧的完全相同，因此最佳拟合和平方和不变。

但是，这只是不变的充分条件，不是必要条件。考虑如下三点：$R^2$

xx <- c(-1,0,1)
yy <- c(1,-2,1)
plot(xx,yy,pch=19)
abline(h=0)
abline(v=0)

model.1 <- lm(yy~1)
abline(model.1,col="red",lty=2)
summary(model.1)

model.2 <- lm(yy~xx)
abline(model.2,col="green",lty=3)
summary(model.2)

如果我们将xx预测变量添加到简单均值模型中，我们会得到相同的拟合和相同的。这种结构也应该可以用于更大的模型。$R^2$

在线性模型中添加更多项可以使 r 平方值保持完全相同或增加 r 平方值。称为R 平方的非递减性质。

为了证明这个属性，首先回想一下最小二乘线性回归的目标是

$$min{SSE}=min\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \left(e_i \right)^2= min_{\beta}\sum_{i=1}^n\left(y_i -\beta_0 - \beta_1x_{i,1} - \beta_2x_{i,2} -…- \beta_px_{i,p}\right)^2$$ R平方是 $$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$ 当包含额外变量时，最小二乘线性回归的目标变为 $$min{SSE}=min_{\beta}\sum_{i=1}^n\left(y_i -\beta_0 - \beta_1x_{i,1} - \beta_2x_{i,2} -…- \beta_px_{i,p}-\beta_{p+1}x_{i,p+1}\right)^2$$ 如果额外的估计系数（$\beta_{p+1}$) 为零，则 SSE 和 R 平方将保持不变。或者如果额外的估计系数（$\beta_{p+1}$) 取非零值，SSE 将减少。在这种情况下，R 平方会增加，因为它提高了拟合的质量。