如果 n 足够大，您的期望值应该接近分布的平均值。

对，那是正确的。

所以值大于预期值的概率应该是 0.5。

这只有在分布是对称的情况下才是正确的——在您的游戏中并非如此。如果您考虑一下您的奖金的中值应该是多少，您可以很容易地看到这一点$n$抛出。

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您可以将您的问题视为随机游走。基本的一维随机游走是在整数实线上的游走，在每个点我们移动$\pm 1$有概率$p$. 如果我们忽略货币的翻倍/减半并设置，这正是您所拥有的$p=0.5$. 我们所要做的就是将您的坐标系重新映射到此示例。让$x$成为你最初的起始底池。然后我们通过以下方式重新映射：

x*2^{-2} = -2
x*2^{-1} = -1 
  x = 0
 x*2 = 1  

IE$2^k x=k$. 让$S_n$表示我们从游戏中赚了多少钱$n$转身，然后

$$\begin{equation} Pr(S_n = 2^k x) = 2^{-n} \binom{n}{(n+k)/2} \end{equation}$$ for。$n \ge (n+k)/2 \ge 0$

当不是 2 的倍数时，则。为了理解这一点，假设我们从 10 英镑开始。在转之后，唯一可能的值是 £5 或 £20，即或。$(n+k)$$Pr(S_n)=0$$n=1$$k=-1$$k=1$

上述结果是随机游走的标准结果。谷歌随机游走以获取更多信息。同样从随机游走理论，我们可以计算出中值回报为，这与期望值不同。$x$

注意：我假设你总是可以把你的钱减半。例如，1pence、0.5pence、0.25pence 都是允许的。如果你去掉这个假设，那么你就有了一个带有吸收墙的随机游走。

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为了完整性

这是您流程的 R 中的快速模拟：

#Simulate 10 throws with a starting amount of x=money=10
#n=10
simulate = function(){
  #money won/lost in a single game
  money = 10
  for(i in 1:10){
    if(runif(1) < 0.5)
      money = money/2
    else
      money = 2*money
  }
  return(money)
}

#The Money vector keeps track of all the games
#N is the number of games we play
N = 1000
Money = numeric(N)
for(i in 1:N)
  Money[i]= simulate()

mean(Money);median(Money)
#Probabilities
#Simulated
table(Money)/1000
#Exact
2^{-10}*choose(10,10/2)

#Plot the simulations
plot(Money)

让次游戏后的财富，我们假设这里的诱惑是取，并将研究为对称随机游走，创新大小为。事实证明，这对于第二个问题很好，但不是第一个问题。一些工作将表明，渐近我们有。由此你不能断定是渐近对数正态分布的，$S_k$$k$$S_0 = 1.$$X_k = \log{S_k}$$X_k$$\pm \log{2}$$X_k \sim \mathcal{N}(0,k(\log{2})^2)$$S_k$$\mu = 0, \sigma = \log{2}\sqrt{k}.$日志操作不限时通勤。如果是这样，您将获得的，这几乎是正确的，但并不完全正确。$S_k$$\exp{(k \log{2}\log{2}/2)}$

但是，此方法适用于查找的分位数以及其他概率问题，例如问题 (2)。我们有最后一个不等式左侧的量是渐近标准正态的，因此超过其平均值的概率接近其中是标准法线的 CDF。这相当快地接近零。$S_k$$S_k \ge (\frac{5}{4})^k \Leftrightarrow X_k \ge k \log{(5/4)} \Leftrightarrow X_k / \sqrt{k}\log{2} \ge \sqrt{k}\log{(5/4})/\log{2}.$$S_k$$1 - \Phi{(\sqrt{k}\log{(5/4)}/\log{2})},$$\Phi$

Matlab代码来检查这个：

top_k = 512;
nsamps = 8192;
innovs = log(2) * cumsum(sign(randn(top_k,nsamps)),1);
s_k = exp(innovs);
k_vals = (1:top_k)';
mean_v = (5/4) .^ k_vals;
exceed = bsxfun(@ge,s_k,mean_v);
prob_g = mean(double(exceed),2);

%theoretical value
%(can you believe matlab doesn't come with normal cdf function!?)
nrmcdf = @(x)((1 + erf(x / sqrt(2)))/2);
p_thry = 1 - nrmcdf(sqrt(k_vals) * log(5/4) / log(2));

loglog(k_vals,prob_g,'b-',k_vals,p_thry,'r-');
legend('empirical probability','theoretical probability');

生成的图表：

你的期望是对的。

实际上，您对于获得超过原始股份的概率也有正确的答案，尽管不是正确的证明。考虑一下它的以 2 为底的对数，而不是您拥有的原始金额。事实证明，这是您将钱翻倍的次数，减去您将钱减半的次数。这是独立随机变量的总和，每个变量等于或，概率为。您想要的概率是这是正数的概率。如果是奇数，那么通过对称性它正好是；如果是偶数（称之为），那么它是$S_n$$n$$+1$$-1$$1/2$$n$$1/2$$n$$2k$$1/2$概率的一半。但是，它接近作为。$S_n = 0$$P(S_{2k} = 0) = {2k \choose k}/2^{2k}$$0$$k \to \infty$