我不会将中点用于任何这些间隔（期望可能作为某些迭代过程的初始猜测）。

如果数据真的来自指数分布，那么每个 bin 中的值应该是右偏的；预计平均值将位于 bin 边界的平均值的左侧。

请注意，等式$\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$如果您拥有所有数据，则适用。对于分箱数据，您需要最大化分箱（即间隔删失）指数的可能性。

[对数似然的贡献$n_i$bin中的观察$i$——介于两者之间$l_i$和$u_i$- 是$n_i \log(F(l_i)-F(u_i))$（其中两个术语在$F$是分布参数的函数）。]

由于指数缺乏记忆属性，如果你对指数的平均值有一个很好的近似值，你也有一个很好的近似值，即高于某个值的分布的平均值$x_0$超过$x_0$.

所以（假设你没有像我建议的那样直接最大化区间删失数据的可能性*），你可以从平均值的一些近似估计开始（$m^{(0)}$说）并使用$120+m^{(0)}$作为上尾的“中心”。

然后，这可以用来更好地估计参数（以及因此的平均值），从而获得每个 bin 中条件平均值的改进估计，包括顶部的。[如果你想要这种方法，我可能会倾向于直接做 EM。]

可以快速获得几个简单的平均值估计。例如，由于 41% 的值出现在 20 以下，$\exp(-\frac{20}{\hat{\lambda}^{(0)}})=1-0.41$这对应于接近的平均值的估计$38$. 或者，可以快速估算中位数（小于 30，可能约为 28），因此平均值应该在附近$28/\log(2)$, 或周围$40$.

这些中的任何一个都可以合理地用作初始猜测，以估计最后一个 bin 的条件均值在 120 以上多远。

* 最大化可能性的替代方法是最小化卡方统计量；在这种情况下，将使用对 df 的相同调整。卡方统计量相对容易计算，并且针对单个参数进行优化非常简单：

从理论上讲，您获得的样本的可能性将被写为其中是 bin 边界（假设每个 bin 表示观察到 )，是 bin中的观察数。在这里，您有bin，其中和。一般来说，最大化这个表达式的对数似然将需要一种数值方法。使用

$$\mathcal L(\lambda \mid \boldsymbol x) = \prod_{j=1}^m (e^{-\lambda x_{j-1}} - e^{-\lambda x_{j}})^{n_j},$$ $(x_0, x_1, \ldots, x_m)$$x_{j-1} < X \le x_j$$n_j$$j$$m = 6$$(x_0, x_1, \ldots, x_m) = (0, 20, 40, 60, 90, 120, \infty)$$(n_1, \ldots, n_m) = (41, 19, 16, 13, 9, 2)$Mathematica，我得到对数似然的导数为 这产生了数值解 $$\frac{\partial \ell}{\partial \lambda} = \frac{760}{\sinh 10 \lambda +\sinh 20 \lambda} + 1090 \coth 15 \lambda - 3940.$$ $$\hat\lambda \approx 0.025562426096803193.$$

如果您对封闭形式的简单估计感兴趣，UWSE（唯一权重空间估计器）可能会有所帮助。特别是，如果是区间中观察的相对频率，则：$\ \hat{w_{[0,20]}}\ $$\ [0,20] \ $

$$\ \hat{\lambda_{UWSE}} = -\frac{ln(1-\hat{w_{[0,20]}})}{20} \ $$

在这种情况下， ，因此，$\ \hat{w_{[0,20]}} = 0.41\ $

$$\ \hat{\lambda_{UWSE}} = 0.02638164 \ $$

不过，关于 UWSE 只能说它是一个一致的估计。这是估算器完整说明的链接：https ://paradsp.wordpress.com/ - 一直滚动到底部。