机器算法验证 - R平方的有趣推导 - 吾爱随笔录

R平方的有趣推导

机器算法验证回归 r平方

2022-03-28 14:13:40

多年前，我通过使用数据和转换的实验发现了这种身份。在向我的统计学教授解释之后，他带着使用向量和矩阵符号的一页证明进入下一堂课。不幸的是，我把他给我的纸弄丢了。（这是在 2007 年）

有人能够重建证明吗？

让 $(x_i,y_i)$ 成为您的原始数据点。通过按角度旋转原始数据集来定义一组新数据点 $\theta$ ; 称这些点 $(x'_i,y'_i)$ .

原始点集的 R 平方值等于导数的负积 $\theta$ 新点集的每个坐标的标准偏差的自然对数，每个点在 $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

1个回答

推导并不是特别有趣的符号操作练习。自从，

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$ 和

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ 结果如下。

我很想知道你是如何得出这样的等式的，尤其是什么特定的实验揭示了这样的身份。

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