假设回归模型与设计矩阵（一个列后跟你的预测），预测（其中是“帽子矩阵”），残差。回归模型假设真实误差都具有相同的方差（同方差）：$\bf{y} = \bf{X} \bf{\beta} + \bf{\epsilon}$$\bf{X}$$\bf{1}$$\hat{\bf{y}} = \bf{X} (\bf{X}' \bf{X})^{-1} \bf{X}' \bf{y} = \bf{H} \bf{y}$$\bf{H}$$\bf{e} = \bf{y} - \hat{\bf{y}}$$\bf{\epsilon}$

残差的协方差矩阵是。这意味着原始残差具有不同的方差 - 矩阵的对角线。的对角线元素是帽子值。$V(\bf{e}) = \sigma^{2} (\bf{I} - \bf{H})$$e_{i}$$\sigma^{2} (1-h_{ii})$$\sigma^{2} (\bf{I} - \bf{H})$$\bf{H}$$h_{ii}$

因此，真正标准化的方差为 1 的残差是。问题是误差方差是未知的，并且内部/外部学生化残差是由特定的估计选择导致的。$\bf{e} / (\sigma \sqrt{1 - h_{ii}})$$\sigma$ $\bf{e} / (\hat{\sigma} \sqrt{1 - h_{ii}})$$\hat{\sigma}$

由于即使是同方差的，原始残差也应该是异方差的，因此在理论上，与标准化或学生化残差相比，原始残差不太适合诊断具有同方差假设的问题。$\epsilon$

你在什么类型的数据上做你的测试图？当所有假设都成立（或接近）时，我预计原始残差和学生化残差之间不会有太大差异，主要优势是当存在高度影响的点时。考虑这个（模拟的）数据，它具有正的线性趋势和高度影响的异常值：

这是拟合值与原始残差的关系图：

请注意，我们影响点的残差值比其余点的最小和最大残差更接近 0（它不在 3 个最极端的原始残差中）。

现在这是带有标准化（内部学生化）残差的图：

在该图中，标准化残差很突出，因为它的影响已被考虑在内。

在这个简单的例子中很容易看出发生了什么，但是如果我们有超过 1变量和一个非常有影响力的点，但在二维图中并不罕见？从原始残差图中不会很明显，但学生化残差会显示残差更加极端。$x$