机器算法验证 - XnXn →一个。小号_→a.s. XX，然后(∏n我= 1X一世)1 / n(∏i=1nXi)1/n →一个。小号_→a.s. XX? - 吾爱随笔录 - 问答

XnXn →一个。小号_→a.s. XX，然后(∏n我= 1X一世)1 / n(∏i=1nXi)1/n →一个。小号_→a.s. XX?

机器算法验证自习收敛几何平均数

2022-03-07 03:43:44

证明或提供反例：

如果 $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ ，然后 $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

我的尝试：

错误：假设 $X$ 只能取负值，并假设 $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

然后 $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , 然而对于甚至 $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ 不是严格否定的。取而代之的是，它交替消极到积极和消极。所以， $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ 几乎肯定不会收敛到 $X$ .

这是一个合理的答案吗？如果没有，我该如何改进我的答案？

2个回答

在证明一些有趣的事情之前，请注意几乎肯定不是两个陈述都有意义的必要条件，确定性序列说明了这一点。 $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

此外，该陈述通常确实是错误的，正如以下确定性序列所证明的那样：。 $(0, 1, 1, \dots)$

现在，假设几乎肯定，那么通过以下论点，该陈述为真： $X_i >0$ $i$

定义通过的连续性，几乎可以肯定。因此，几乎可以肯定地由Cesaro 的结果意味着也在上面的评论中得到证明。因此，通过的连续性，几乎可以肯定。

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

这种说法是错误的。我通过提供一个反例来证明。

假设随机序列定义如下： $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

显然，是 (1) 简并的，并且 (2) 几乎肯定会收敛到，因为根据切比雪夫的强数定律。（要看到这一点，将重写为。） $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

然而，由于，。因此，，所以它会在极限内平凡收敛到，即。 $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

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