首先，注意范围$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} Y$是$(1, \infty)$. 首先找到的累积分布函数$Y$以通常的方式：

$$\begin{align} F_Y(t) & = \P(Y \leq t) = \P(e^X \le t) \\ & = \P( X \leq \ln(t) ) \\ & = F_X( \ln(t) ) = 1-e^{-\lambda \ln(t)} \\ & = 1- e^{\ln( t^{-\lambda})} \\ & = 1-t^{-\lambda} \end{align}$$ 为了$t\gt 1$. 通过微分，我们找到密度函数 $$f_Y(t) = \lambda t^{-\lambda -1},\quad t>1.$$

请注意，这与beta 素数分布的密度非常相似。定义$U=T-1$, 具有密度函数

$$f_U(u)= \lambda (u+1)^{-\lambda -1},\quad u>0$$ 我们可以重写为 $$f_U(u)=\frac{u^{1-1} (u+1)^{-\lambda-1}}{B(1,\lambda)}$$ 我们可以看到是一个β素数密度。

所以我们可以重新制定：$e^X -1$具有 beta 素数分布。

来自帕累托分布的样本。如果$Y\sim\mathsf{Exp}(\mathrm{rate}=\lambda),$然后$X = x_m\exp(Y)$具有密度函数的帕累托分布$f_X(x) = \frac{\lambda x_m^\lambda}{x^{\lambda+1}}$ 和 CDF$F_X(x) = 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)^\lambda,$ 为了$x\ge x_m > 0.$最小值$x_m > 0$是密度积分存在的必要条件。

考虑随机y样本$n = 1000$观察来自$\mathsf{Exp}(\mathrm{rate}=\lambda=5)$以及y由上述变换产生的帕累托样本。

    set.seed(1128)
    x.m = 1;  lam = 5
    y = rexp(1000, lam)
    summary(y)
 
         Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
    0.0001314 0.0519039 0.1298572 0.1946130 0.2743406 1.9046195 

    x = x.m*exp(y)
    summary(x)

      Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
     1.000   1.053   1.139   1.245   1.316   6.717 

下面是 Pareto 样本的经验 CDF (ECDF)x以及从中采样的分布的 CDF（橙色虚线）。沿水平轴的刻度线显示 的各个值x。

    plot(ecdf(x), main="ECDF of Pareto Sample")
     curve(1 - (x.m/x)^lam, add=T, 1, 4, 
           lwd=3, col="orange", lty="dotted")
     rug(x)

参考：请参阅帕累托分布的维基百科页面，在与指数关系的标题下。