机器算法验证 - 与 Borel-Cantelli 引理有关的问题 - 吾爱随笔录 - 问答

与 Borel-Cantelli 引理有关的问题

机器算法验证可能性自习随机过程概率不等式

2022-03-19 23:41:58

笔记：

Borel-Cantelli 引理说

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

然后，

如果

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

通过使用 Borel-Cantelli 引理

我想证明

第一，

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ 存在

其次，

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

请帮我展示这两个部分。谢谢你。

1个回答

没有一个断言是正确的。

设为抛硬币正面朝上的机会，当 n 为奇数时概率为，当为偶数时。然后： $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

然而，显然不存在。您可以得出的最好结论是。 $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇协同过滤的最新技术下一篇聚类的狄利克雷过程：如何处理标签？